6.4. Модель лавинообразного разрушения организма при естественном старении

Не было гвоздя,- подкова пропала. 
Не было подковы,- лошадь захромала. 
Лошадь захромала,- командир убит. 
Конница разбита, армия бежит. 
Враг вступает в город, пленных не щадя,- 
Оттого что в кузнице не было гвоздя!

С. Я. Маршак. "Гвоздь и Подкова"

В 1978 г. нами бы выдвинута гипотеза о том, что старение организмов обусловлено "каскадом зависимых отказов", возникающим в результате случайного отказа одной из систем организма [Гаврилов, 1978; Гаврилов и др., 1978]. Это предположение о цепном механизме лавинообразного разрушения организма при естественном старении заслуживает дальнейшего развития. Действительно, хорошо известно, что дефекты в организме имеют тенденцию лавинообразно размножаться по цепному механизму: например, если в организме имеется n раковых клеток, каждая из которых способна делиться, то скорость перехода организма в состояние n+1 раковой клеткой увеличивается с ростом числа уже имеющихся n раковых клеток. Аналогичная закономерность наблюдается и при инфекционном поражении организма. Положительная обратная связь между степенью и скоростью разрушения организма обусловлена также тем, что при выходе из строя части структур нагрузка на оставшиеся структуры увеличивается, что ускоряет их износ. Ярким примером такого каскадного лавинообразного разрушения организма является развитие некомпенсированного сахарного диабета: длительная гипергликемия, возникшая в результате относительной инсулиновой недостаточности, приводит к полному истощению инсулинпродуцирующей способности островкового аппарата поджелудочной железы и переходу относительной инсулиновой недостаточности в абсолютную. Это, в свою очередь, приводит к почечной недостаточности (диабетический гломерулосклероз) и поражению сердечно-сосудистой системы (диабетическая ангиопатия). Возникшее поражение почек, в свою очередь, ведет к развитию нефрогенной гипертензии, которая может закончиться смертью от инсульта. Список подобных примеров цепного лавинообразного разрушения организма можно было бы продолжить. По-видимому, старение обусловлено именно такими каскадами зависимых отказов, развивающимися долгое время в скрытой, доклинической форме. Поэтому математические модели цепного лавинообразного разрушения организма представляют особый интерес.

Рис. 56. Схема лавинообразного разрушения организма при естественном старении. В исходном состоянии организм не имеет дефектов, однако в результате случайных повреждений он переходит в состояния где n - число дефектов. Скорость появления новых дефектов лавинообразно растет с ростом числа уже накопленных дефектов (горизонтальные стрелки). интенсивность смертности (вертикальные стрелки, направленные вниз) также лавинообразно растет с ростом числа дефектов

Рассмотрим простейший вариант модели цепного разрушения организма. Обозначим через состояния организма с дефектами. Пусть - это фоновая скорость поступления дефектов (фоновая интенсивность деструкции), не зависящая от стадии разрушения организма. Соответственно μ₀ - фоновая интенсивность смертности. В простейшем случае обе величины могут быть обусловлены случайными повреждающими воздействиями внешней среды. Наряду с этим существует индуцированная интенсивность деструкции и индуцированная интенсивность смертности, которые растут с увеличением числа уже имеющихся дефектов. В первом приближении можно считать, что эти интенсивности прямо пропорциональны числу дефектов, так что для организма с n дефектами индуцированная интенсивность деструкции равна nλ, а индуцированная интенсивность смертности - nμ.

С учетом сделанных предположений и обозначений схема цепного лавинообразного разрушения организма имеет следующий вид, изображенный на рис. 56.

Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:

Аналогичная система уравнений (без учета фоновой интенсивности смертности) была получена и решена в математической модели, связывающей выживаемость организмов с повреждением хромосом [Le Bras, 1976].

Если в начальный момент времени число дефектов в организме еще равно нулю, то доля организмов с дефектами меняется со временем в соответствии с формулами

В случае, когда число дефектов может расти неограниченно, зависимость числа выживших от возраста определяется следующим образом:

где

Возвращаясь к исходным переменным, получаем

Интенсивность смертности равна соответственно:

В частном случае, когда скорость размножения дефектов оказывается существенно больше индуцированной интенсивности смертности рост интенсивности смертности на начальном этапе (при небольших значениях x) описывается законом Гомперца-Мейкема:

где

Модель цепного лавинообразного разрушения организма позволяет не только теоретически обосновать известный закон Гомперца-Мейкема, но и объяснить, почему значения параметра A иногда оказываются отрицательными. Действительно, в рамках данной модели параметр A является заниженной оценкой фоновой интенсивности смертности на величину, равную R (см. выше). Поэтому если фоновая интенсивность смертности μ₀ невелика (для населения развитых стран и в популяциях лабораторных животных), а величина параметра R значительна (при большой фоновой интенсивности деструкции ), то параметр A может оказаться отрицательным.

Другое важное достоинство модели цепного лавинообразного разрушения организма состоит в том, что она правильно предсказывает отклонения от закона Гомперца-Мейкема в старших возрастах в сторону меньших значений смертности. В этом крайнем диапазоне возрастов интенсивность смертности растет по закону:

Таким образом, модель предсказывает асимптотический рост интенсивности смертности с верхним пределом, равным Сопоставляя этот вывод с данными по кинетике выживания долгожителей, можно определить, что для человека составляет примерно 0,5-1,0 год^-1. Величина λ для человека составляет 0,05-0,12 год^-1. а μ = 10^-6*10^-7 год^-1 (оценки сделаны на основании типичных значений R и α для человека).

Наряду с перечисленными достоинствами модель цепного лавинообразного разрушения организма имеет один существенный недостаток: она не согласуется с известной закономерностью, названной компенсационным эффектом смертности (см. раздел 4.5 книги). Хотя модель и предсказывает обратную связь между параметрами R и α при варьировании параметра λ (скорости размножения дефектов), эта зависимость имеет несколько иной вид:

Таким образом, данная конкретная версия модели цепного лавинообразного разрушения организма, к сожалению, количественно не согласуется с компенсационным эффектом смертности и, следовательно, нуждается в существенной доработке. Тем не менее, по нашему мнению, идея цепного разрушения организма является одной из наиболее перспективных в математическом моделировании продолжительности жизни.