6.3. Предельные распределения времени жизни биологических систем

Один из перспективных подходов к моделированию выживаемости организмов состоит в использовании методов статистики экстремальных значений [Барлоу, Прошан, 1984; Галамбош. 1984].

Идея данного подхода проста и очевидна. Действительно, гибель организма может наступить в результате поражения самых разных его подсистем (например, сердца, легких, мозга, почек и т. д.). Поэтому продолжительность жизни всего организма определяется продолжительностью жизни той подсистемы, которая выйдет из строя первой. Иными словами, время жизни организма - это наименьшее из времен "жизни" его подсистем. Следовательно, закон распределения времени жизни организмов необходимо искать среди класса распределений наименьших значений.

Второе допущение данной модели состоит в том, что число жизненно важных структур в организме очень велико. В пользу этого свидетельствует огромное разнообразие болезней и конкретных причин смерти, отраженное в многотомных медицинских изданиях. Поэтому есть основания для поиска простых предельных распределений наименьших значений времен жизни огромного числа элементов.

Оказывается, что для неотрицательных величин, каковой является и длительность жизни, существует только два типа предельных распределений наименьших значений [Галамбош, 1989]:

где - функции распределения длительности жизни организмов (вероятность того, что время жизни окажется меньше, чем x).

Функция распределения характеризуется увеличением интенсивности смертности с возрастом по закону Вейбулла:

В частном случае, когда интенсивность смертности не зависит от возраста, что соответствует отсутствию старения.

Функция распределения характеризуется увеличением интенсивности смертности с возрастом по закону Гомперца:

Старение организмов в соответствии с законом Вейбулла будет наблюдаться в том случае, если износ подсистем организма удовлетворяет условию [Галамбош, 1984]

где F(x) - функция распределения времени жизни подсистемы организма, - возраст, в котором F = 0 (обычно также равен нулю). Например, если подсистемы организма выходят из строя по закону Вейбулла, то и сами организмы будут вымирать по тому же закону с тем же параметром γ.

К распределению Вейбулла приводит также следующая простая модель. Пусть каждая подсистема организма может выдержать а повреждений, любое из которых возникает случайно и независимо с постоянной интенсивностью λ. Тогда время жизни отдельной подсистемы имеет гамма-распределение (Барлоу, Прошан, 1984]:

В этом случае интенсивность смертности организмов растет с возрастом по закону Вейбулла, причем [Барлоу, Прошан, 1984]. Нетрудно заметить, что данный хрестоматийный пример и был описан в одной из уже разобранных нами (разд. 6.2) математических моделей старения [Skurnick, Kemcny, 1978a].

Рассмотрим другой, более интересный случай, когда каждая подсистема организма состоит из n одинаковых блоков, соединенных параллельно в смысле теории надежности. Иначе говоря, подсистема работает до тех пор, пока исправен хотя бы один блок (пример - дублирование в случае почек). Если интенсивность отказов блоков постоянна и равна λ, то функция распределения времени жизни подсистемы равна

Можно показать, что и в этом случае интенсивность смертности организмов растет с возрастом по закону Вейбулла, причем Например, если все подсистемы организма дублированы (n = 2), то интенсивность смертности растет с возрастом линейно: [Гаврилов, 1987].

К закону Вейбулла приводят и многие другие модели разрушения подсистем организма. Так, если время жизни подсистем имеет стандартное распределение Планка с плотностью вероятности

то интенсивность смертности организмов растет с возрастом по квадратичному закону [Галамбош, 1984].

Значительно труднее построить такие модели, в которых интенсивность смертности организмов росла бы с возрастом по закону Гомперца. В этом случае функция распределения F(x) времени жизни подсистем организма должна удовлетворять условию [Барлоу, Прошан, 1984]:

где

В частности, если подсистемы организма выходят из строя по закону Гомперца, то и интенсивность смертности самих организмов также растет с возрастом по этому же закону [Барлоу. Прошан. 1984].

Кроме того, закон Гомперца получается и в том случае, когда времена жизни подсистем организма распределены по нормальному или лог-нормальному законам. В этих случаях, однако, наблюдается исключительно медленная сходимость к закону Гомперца, требующая огромного числа незаменимых, жизненно важных структур в организме [Галамбош, 1984].

К сожалению, до последнего времени других, более содержательных моделей экстремальных значений, приводящих к закону Гомперца, в научной литературе описано не было.

Казалось бы, закон Вейбулла, вытекающий из целого ряда естественных предположений, должен значительно лучше описывать выживаемость организмов, чем закон Гомперца. Между тем твердо установлена прямо противоположная закономерность [Семенова и др., 1985). Поэтому приходится отказаться от многих правдоподобных схем разрушения организма, соответствующих закону Вейбулла, и особое внимание уделить поиску схем разрушения, приводящих к закону Гомперца.

В результате проведенного нами исследования было найдено два новых сценария разрушения организма, которые приводят к закону Гомперца-Мейкема. Один из них соответствует цепному механизму лавинообразного разрушения организма и описан в разделе 6.4 данной главы. Другой сценарий разрушения организма охватывает все описанные выше случаи, приводящие к распределению Вейбулла, с одной очень существенной поправкой: исходное состояние организма не считается идеальным (лишенным дефектов), как в ранее описанных случаях, а. наоборот, характеризуется огромным числом дефектов. Этой небольшой поправки оказывается достаточно, чтобы из простейших схем разрушения организма вместо распределения Вейбулла получить распределение Гомперца.

Можно предложить следующую содержательную интерпретацию для обоснования подобного предположения. Для технических систем имеется возможность и необходимость проверки качества каждого элемента системы в процессе ее сборки. Поэтому технические системы действительно могут исходно состоять только из работоспособных элементов и, следовательно, разрушаться в соответствии с законом Вейбулла. Для биологических же систем, которые формируются путем "самосборки", возможность внешнего контроля качества составляющих систему элементов практически исключена, и, следовательно, надежность биосистемы приходится обеспечивать не столько высоким качеством составляющих ее элементов, сколько колоссальной избыточностью системы, возможной благодаря миниатюризации этих элементов. Если принять, что вероятность нормального функционирования каждого элемента очень мала, а кратность резервирования системы очень велика, то распределение числа работающих элементов в системе должно следовать закону Пуассона. Введя это предположение в описанные ранее схемы разрушения организма, нетрудно получить закон Гомперца во всех тех случаях, из которых ранее вытекал закон Вейбулла (подробнее см разд. 6.5).

Переходя к критическому обсуждению выводов, полученных из статистики экстремальных значений, следует рассмотреть ряд ограничений этой теории.

Одно из них связано с гипотезой статистической независимости отказов подсистем организма. Эта гипотеза, действительно, может не выполняться в случае параллельного в смысле теории надежности соединения элементов, т. е. когда гибель наступает лишь при отказе всех элементов системы. В данном случае отказ некоторого числа элементов может действительно ускорить износ оставшихся элементов из-за повышения нагрузки на них. Однако рассматриваемая схема соответствует распределению наибольших, а не наименьших значений. Случаю же распределения наименьших значений соответствует последовательное в смысле теории надежности соединение подсистем, когда отказ любой из них означает гибель организма. Нетрудно заметить, что проблема зависимости отказов перестает быть актуальной, если первый же отказ эквивалентен гибели системы. Кроме того, дальнейшая разработка теории экстремальных значений для зависимых величин показала, что учет зависимости в ряде случаев не влияет на окончательные выводы [Галамбош. 1984).

Другое ограничение теории экстремальных значений связано с предположением об одинаковом распределении времени жизни различных подсистем. Эта гипотеза, действительно, может не выполняться в экстремальных ситуациях, когда большинство случаев смерти обусловлено преимущественным поражением наиболее чувствительных систем организма (например, в случае костно-мозговой формы острой лучевой болезни). Однако в нормальных условиях из-за длительной преимущественной элиминации особей с малонадежными подсистемами (естественный отбор) должно наблюдаться уравнивание интенсивностей отказов различных подсистем организма. Кроме того, следует отметить вывод, сделанный в одной из работ [Abernethy, 1979], что различия в надежности подсистем в ряде случаев не влияют на результаты применения статистики наименьших значений.

По-видимому, основной недостаток статистики наименьших значений состоит в том, что она так и не объясняет феномен старения (увеличения интенсивности отказов или смертности с возрастом) организма, ибо просто сводит проблему старения организма к проблеме старения его подсистем. Ясно, что подобное "объяснение" старения через старение неизбежно ведет в логический тупик, ибо, переходя последовательно от старения организма к старению органов, тканей и клеток, мы в конце концов доходим до атомов, которые, как известно, не стареют.

Таким образом, ключевым моментом является вопрос, как объяснить старение системы, построенной из нестареющих элементов. С этой точки зрения особый интерес представляют системы, имеющие не последовательное, а параллельное соединение элементов [Гаврилов, 1978; Гаврилов и др., 1978). Принципиально важным является Утверждение, что только избыточность по числу жизненно важных структур может привести к появлению феномена старения [Козловыми. Гаврилов. 19831.

Другой недостаток асимптотической теории экстремальных значений связан с предположением о бесконечно большом числе элементов в системе. В реальных же системах число элементов может быть огромным, но оно всегда конечно. Разумеется, гипотеза неограниченности числа элементов резко упрощает анализ моделей, обеспечивая получение предельных распределений. Однако в ряде случаев эта гипотеза приводит к выводам, неприменимым к реальным системам. Так, асимптотическая теория допускает возможность существования нестареющей системы, построенной из стареющих невосстанавливаемых элементов! Например, в случае равномерного распределения времени жизни элементов система, построенная из бесконечного числа таких последовательно соединенных стареющих элементов, не стареет [Барлоу, Прошан, 1984]. То же самое утверждение справедливо для случая, когда

где - функция распределения стандартного нормального закона [Галамбош, 1984]. Система, построенная из таких последовательно соединенных стареющих элементов, имеет экспоненциальное распределение времени жизни, т. е. не стареет. Ясно, что подобные чудеса, противоречащие здравому смыслу, возможны лишь для воображаемых систем с бесконечным числом элементов. К реальным же системам, состоящим из конечного числа элементов, эти выводы неприложимы.

В заключение следует отметить, что возможности применения статистики экстремальных значений для моделирования выживаемости организмов в настоящее время далеко не исчерпаны. Вместе с тем этот подход имеет определенные ограничения, знание которых необходимо для его корректного применения.